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    • Teoría de cuerdas #2: inarmonicidad, longitud de escala, calibre de cuerdas y por qué es mejor una guitarra multi-escala Flipboard

      Mejoras en el foro-inarmonicidad-02.png

      Luthería y física de guitarra

      Teoría de cuerdas (II)

      Inarmonicidad, Historia y evolución del concepto, Longitud de escala, Calibre de cuerdas y por qué es mejor una guitarra multi-escala


      Este artículo es la continuación de Teoría de cuerdas #1. Si no has leído el anterior te recomiendo que lo leas antes de continuar leyendo éste.



      La inarmonicidad


      En el artículo anterior quedó definido y establecido qué es la inarmonicidad. En este artículo vamos a continuar con la demostración matemática (aunque sin entrar en profundidad en ella) para poder establecer cómo podemos evitarla y qué variables están a nuestro alcance que, como ya establecí al finalizar el artículo anterior, son la longitud de escala, la afinación y el calibre de la cuerda.

      La fórmula del encabezado está extraída del libro "The Physics of Musical Instruments" publicado en 1991 por Thomas Rossing y Neville Fletcher. En todo el tratado hay varias fórmulas que establecen diferentes relaciones entre la inarmonicidad. De ese libro, que entre otros aspectos trata la forma de mejorar la sonoridad del piano reduciendo la inarmonicidad entrando en detalles como la forma en que funciona el martillo, cómo podría mejorarse, la forma en que el sonido se ve reflejado en los materiales, etc. quiero extraer éstos párrafos:


      Mejoras en el foro-inarmonicidad-01.png


      En éstas líneas podemos extraer que la inarmonicidad para un armónico dado (In donde n es el número del armónico) es directamente proporcional a B que es el coeficiente de inarmonicidad. Como vemos haciendo la aproximación para resolver declara que la inarmonicidad es aproximadamente igual a bn^2 y luego establece el valor de b para las cuerdas de entorchado simple y entorchado doble.

      Lo que quiero que quede establecido en este momento es que el valor de b para las cuerdas de entorchado simple tienen menos sumandos que el valor de b para las cuerdas de entorchado doble, es decir: las cuerdas de entorchado doble provocan una mayor inarmonicidad. Por tanto: ¡huíd de las cuerdas de entorchado doble! Aunque, lamentándolo mucho, si nos vamos a más de calibre .0.60" difícilmente podremos huir de ellas...

      Habiendo declarado esto, quiero proseguir con el siguiente desarrollo realizado por Jim B. de la Universidad de Illinois:

      My original formula for the inharmonicity constant for freely vibrating strings, e.g., piano tones, was based on Rossing's formula (Rossing, The Science of Sound, 2nd ed, p. 291, which is:


      f[n] = n*f[1]*[1 + (n^2 -1)*A], (1)


      where A = pi^3*r^4*E/(8*T*L^2) and r = string radius, E = Young's modulus, T = tension, L = string length.


      A nice feature of this formula is that when n=1, you have f[1] = f[1]. >From it and taking B = 2*A, I get


      B[n] = 2*(f[n] - n*f[1])/((n^2-1)*n*f[1]). (2)


      The reason for taking B = 2*A, goes back to Harvey Fletcher et al. (JASA, 34. 749-761 (1962)) and Fletcher (JASA 36, 208 (1964)). In the 1964 paper Fletcher gives the formula


      f[n] = n*F*sqrt(1 + B*n^2), (3)


      which for small values of B*n^2 can be approximated as


      f[n] = n*F*(1 + (B/2)*n^2). (4)


      Setting n=1 and A = B/2, we have f[1] = F*(1 + A), so that Eq. 4 becomes


      f[n] = n*f[1]*(1 + A*n^2)/(1 + A). (5)


      This can be further approximated as


      f[n] = n*f[1]*(1 + A*n^2)(1 - A)


      = n*f[1]*(1 + A*(n^2 -1) - A^2*n^2) (6)


      Again, if A << 1, we can drop the last term, and Eq. 1 results.


      The equation in Neville Fletcher and Thomas Rossing's "The Physics of Musical Instruments (p. 61 of their 1st ed) is taken from Morse's "Vibration and Sound" (1948), and is similar to Eq. 1 but different. Harvey Fletcher's equation apparently came from an article by Robert Young (JASA 24 (1952)).


      Over the years several researchers have used either Eq. 1 or Eq. 3 to compute inharmonicities of piano tones. I have tried to do this on a computer and have found that, using my Eq. 2, B varies with partial number. However, there is usually a range
      of partials where B is quite stable. Again, it only works for freely vibrating string tones.


      Jim B
      Univ. of Illinois at Urbana-Champaign
      De todo su desarrollo, quiero extraer la siguiente parte:

      f[n] = n*f[1]*[1 + (n^2 -1)*A], (1)


      where A = pi^3*r^4*E/(8*T*L^2) and r = string radius, E = Young's modulus, T = tension, L = string length.
      Como vemos en este extracto se establece que la inarmonicidad (f[n]) es directamente proporcional a A que a su vez es directamente proporcional a r e inversamente proporcional a T y L donde aclara que r es el radio, T la tensión y L la longitud. Dicho de otra forma: a mayor grosor de la cuerda, mayor inarmonicidad, y a mayor tensión y/o lonigtud, menor inarmonicidad.

      Con lo cual diremos que lo que nos interesa es que nuestra guitarra tenga la cuerda más fina posible con la tensión más alta posible y el mayor largo de escala posible. Obviamente hay límites físicos para nuestras manos, además, utilizar grandes calibres y escalas aun más largas convertiría una guitarra en un bajo así que, teniendo esto en cuenta, hagamos números y veamos dónde están los límites y a qué podemos atenernos para evitar la inarmonicidad dentro de lo que sería aceptable.

      Dada una guitarra barítona, es decir, de 27" de longitud de escala, obtenemos los siguientes resultados:

      Nota: Si, calibre de cuerda: .060". Inarmonicidad: 7 centésimas para el primer armónico y 30 centésimas para el segundo armónico
      Nota: Si, calibre de cuerda: .056". Inarmonicidad: 6 centésimas para el primer armónico y 27 centésimas para el segundo armónico

      Como vemos, la diferencia entre un calibre de cuerda y el otro hace que la inarmonicidad se reduzca pero, ¿es realmente notorio?
      Los límites que se han establecido de forma más o menos uniforme en la comunidad guitarrera de internet es que para tocar en limpio o distorsión con nuestras guitarras eléctricas el primer armónico no deberá estar desfasado más de 10 centésimas y el segundo armónico no más de 35 centésimas. Si bien lo deseable es que ambos fueran cero esto es imposible, especialmente a medida que vamos aumentando el orden del armónico, como vemos el segundo armónico está más desfasado que el primero, y el tercero lo está aun más que el segundo, etc.

      Si comparamos éstos valores con si estuviéramos afinando la misma guitarra en Mi obtendríamos lo siguiente:

      Nota: Mi, calibre de cuerda: .042". Inarmonicidad: 2 centésimas para el primer armónico y 8 centésimas para el segundo armónico
      Nota: Mi, calibre de cuerda: .046". Inarmonicidad: 2 centésimas para el primer armónico y 10 centésimas para el segundo armónico

      Como podemos ver afinando una cuarta más agudo en la misma guitarra obtenemos reducir la inarmonicidad a una tercera parte.
      Ahora vamos a ver qué es lo que ocurre cuando nos pasamos de calibre de cuerda. Por ejemplo: yo afino mi Jackson de 26.5" en Drop A y la cuerda de calibre .056" que uso de 7ª me parece que está un poco floja y le quiero poner una .070", ¿cuál es el resultado?

      Nota: La, calibre de cuerda: .070". Inarmonicidad: 14 centésimas para el primer armónico y 56 centésimas para el segundo armónico

      El resultado es, simple y llanamente, desastroso. Tocar la 7ª cuerda sola (y por favor, con distorsión) nos dará un sonido bueno y no notaremos mucho la inarmonicidad. Si tocamos un acorde de quinta lo notaremos pero digamos que está un poco dentro de los límites de lo que nuestro oído podría apreciar, pero os garantizo que tocando un acorde de 7ª o con 3ª el resultado sería desastroso. Tocando sin distorsión lo notaríamos aun más. Ese grado de inarmonicidad es, precisamente, lo que hace que suene diferente nuestra guitarra cuando usamos un juego de cuerdas de calibre 9-42 a cuando usamos un juego de cuerdas de calibre 10-52 y es que a medida que vamos aumentando el calibre de la cuerda aumenta la inarmonicidad y esa efecto (o defecto) empieza a hacerse más notorio.

      Afortunadamente ya quedó establecido que la tensión de la cuerda y la longitud son ambos inversamente proporcionales a la inarmonicidad, es decir que manteniendo constante un grado aceptable de inarmonicidad podemos jugar con dos cosas: la tensión y la longitud de escala.

      En la práctica, si mantenemos constante el calibre de la cuerda, la única forma de alterar la tensión es alterando la afinación y como queremos tener una afinación concreta utilizar la tensión de la cuerda no es algo que esté demasiado de nuestra mano, pero la realidad es que, en el asunto de la inarmonicidad que estamos tratando, lo que queremos conseguir es un balance. Un balance adecuado entre una inarmonicidad aceptable teniendo una tensión en la cuerda adecuada para nuestro estilo y ahí es donde podemos elegir el largo de escala.

      En una guitarra Fender, con su escala de 25.5", la 6ª cuerda afinada en Mi estándar tendría una inarmonicidad del orden de 3-13 (para el primer y segundo armónico) usando un calibre de .046 que es un calibre de cuerda común para estas guitarras (el muy estandarizado juego de cuerdas 9-46). Usando ese juego de cuerdas obtenemos las siguientes tensiones por cuerda:

      1ª - calibre 009 - 13,1lb
      2ª - calibre 011 - 11,0lb
      3ª - calibre 016 - 14,7lb
      4ª - calibre 026 - 18,4lb
      5ª - calibre 036 - 19,5lb
      6ª - calibre 046 - 17,5lb

      Podemos observar que las cuerdas entorchadas soportan más tensión que las cuerdas planas pero podemos establecer que la tensión entre las primeras cuerdas es deseable que estén al rededor de 12lb y que las cuerdas entorchadas estén al rededor de 18lb.

      La cuerda de calibre 070 que teóricamente hubiera puesto a mi Jackson (y con nefastos resultados) soportaría una tensión del orden de 19,6lb, es decir, está casi dos libras por encima de lo que se consideraría una tensión adecuada. La realidad es que a mi me gusta que las cuerdas tengan bastante tensión pero hay que diferenciar entre lo sueltas que están realmente las cuerdas y la sensación que nos da de que estén así de sueltas.

      Esa sensación depende de la aleación del metal y, en gran medida, de la longitud de la escala. La realidad es que a mayor escala más oscila la cuerda, es decir: mayor amplitud, por lo que una guitarra con una escala más larga nos da la sensación de que necesita cuerdas más gruesas para, con mayor tensión, contrarrestar que se muevan más. Ahí es donde entra en juego nuestra capacidad de ajustar nuestra mano derecha a la hora de tocar y adaptarnos a las diferentes guitarras y es ahí donde entra el dilema de la inarmonicidad y, en mi caso, los dolores de cabeza. Todo esto hace que encontrar el equilibrio entre calibre, longitud de escala, tensión percibida e inarmonicidad sea más y más complicado, y es que hay muchos factores en juego y unos dependen de los otros por ello os recomiendo que no os obsesionéis con la inarmonicidad y simplemente intentemos verlo desde un punto de vista sensato.

      ¿Os habéis dado cuenta de que en ningún momento he nombrado las cuerdas agudas de la guitarra? Pues ya va siendo hora, y es que aquí viene otra variable que añadir a nuestra ecuación-rompecabezas. Si la solución a la inarmonicidad es usar la escala más larga posible para poder usar la cuerda más fina posible. ¿qué ocurre con las cuerdas que ya son finas? Que empezamos a acercarnos peligrosamente al umbral de ruptura, es decir, que corremos el riesgo de que se nos rompa la cuerda al hacer un bend.

      El umbral de ruptura de una cuerda de calibre 008 está en el orden de 16,4lb y una cuerda de 008 es prácticamente la más fina que podremos encontrar en una tienda (se pueden conseguir cuerdas hasta de 007 en marcas especializadas como Kalium o Octave4Plus y antaño D'Addario la fabricaba, pero voy a centrarme en lo que podemos conseguir en una tienda normal hoy en día).

      Supongamos, por tanto, que queremos afinar grave, muy muy grave, y nos compramos una guitarra con escala de 30" para asegurarnos de que nuestra 8ª cuerda afinada en Mi (una octava más grave que el Mi estándar de la 6ª cuerda) suene nítido y con una tensión adecuada (aun en este caso estaríamos hablando de una cuerda de calibre 086 para una tensión de unas 18lb y una inarmonicidad del orden de 8-29 para el primer y segundo armónico...). Si le ponemos una cuerda de 009 como primera cuerda (como venimos haciendo casi toda nuestra vida) y la afinamos en Mi estándar obtenemos una tensión de 18,2lb. Si conseguís hacer un bend de un tono completo os doy un premio. Por otra parte, también os aseguro que si os pasáis un poquito más la cuerda rompe, en realidad, se deshace el "anudamiento" de la bola al final de la cuerda, por ello he nombrado la cuerda de calibre 008, parece una opción más interesante. Pongamos la cuerda de calibre 008. Obtendremos una tensión de 14,4lb (habíamos establecido una tensión de el orden de 12lb para las cuerdas planas. Está un poco por encima pero sigue siendo una tensión cómoda para tocar). La realidad es que si hacemos un bend de un tono completo (subiendo la afinación hasta Fa#) obtendríamos una tensión de 18,1lb y hemos establecido que la tensión de ruptura de esta cuerda es de 16,4lb: se nos ha roto la cuerda. ¿Y si solo hacemos bends de medio tono? La tensión resultante de hacer un bend de medio tono con una cuerda 008 afinada en Mi es de 16,1lb, justo al límite, es decir, que no se nos romperá al hacer el primer bend pero ¿y después de un par de semanas cuando la cuerda esté vieja? Se nos romperá.

      Por otra parte tenemos el asunto del tono. Todos conocemos, más o menos, la diferencia de sonido entre una Fender y una Gibson y no, la diferencia no es solo las pastillas sino una PRS y una Gibson sonarían iguales, ¿no?. La escala, la diferencia de escala es notable. Incluso entre Gibson y PRS (que la diferencia de escala es del orden de un cuarto de pulgada tan solo) es notoria. Una de las cosas que suele gustar de las Gibson es que las podemos encordar con cuerdas de calibre 010 y aun así son blanditas de tocar (menor escala, menor tensión) con lo que obtenemos un tono aun más grueso y cremoso, entonces ¿si usamos cuerdas más finas obtenemos un sonido más brillante y con menos cuerpo? Si.

      Por si fuera poco, acabamos de descubrir que si ponemos una cuerda de 008 en una guitarra de 30" no solo se nos romperá si nos pasamos aunque sea un poco haciendo un bend de medio tono sino que además sonará pobre y sin cuerpo.

      ¿Uso una escala más corta? Pero entonces la inarmonicidad hará que mis cuerdas graves suenen mal, especialmente al tocar acordes complejos.

      ¿Cómo puedo conseguir que las primeras cuerdas sean más cortas y las graves más largas para conseguir un compromiso entre inarmonicidad y tono y comodidad al tocar mi guitarra? Multiescala.

      Y así es como aparece la idea de la multiescala y esa es la razón por la cual un piano de cola tiene la forma que tiene, ¿os dais cuenta que el lado más largo del piano de cola es el que corresponde a las notas más graves? Un piano de cola es un instrumento multiescala.


      Creo que ya hay bastante información que digerir en esta entrega y además hemos llegado a un punto de relax donde podemos parar y asimilar toda esta información antes de entrar en el siguiente artículo que detallará los problemas a los que se enfrentan las guitarras multiescala, cuáles son los límites de la comodidad para ese tipo de instrumentos y a qué compromisos podemos deberemos llegar si queremos afinar tan grave y no sufrir un exceso desagradable de inarmonicidad.

      Saludos!!


      PD: Si tenéis alguna duda o pregunta no dudéis en plantearla en los comentarios. Estaré encantado de responder pero os aseguro que en muchos casos la respuesta será "espera a la siguiente entrega del artículo, ahí explico tu duda y, si aun después sigues con la duda, pregúntamelo de nuevo y te lo responderé"

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